KİŞİSEL

 

 

ÖZGEÇMİŞ

 

 

YAYINLAR

 

 

DUYURULAR

 

 

İLETİŞİM

 

 

 

 

 

ANA SAYFA

 

 

GERİ

 

 

 

2010-2011 YAZ DÖNEMİ VİZE TARİHLERİ

Ders

1. VİZE

2.VİZE

Sayısal Yöntemler (G1)

27 Temmuz 2011; saat 13.30

03 Ağustos 2011; saat 13.00

Sayısal Yöntemler (G2)

22 Temmuz 2011; saat 10.00

05 Ağustos 2011; saat 10.00

Enerji Ekonomisi

28 Temmuz 2011; saat 10.00

04 Ağustos 2011; saat 10.00

Enerji Santralleri

26 Temmuz 2011; saat 10.00

02 Ağustos 2011; saat 10.00

 

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI (SUNUMLAR)

 

Matematik problemlerin yaklaşık çözümlerini  bulmayı amaçlayan  formül ve işlemlerden oluşan  tekniklere sayısal yöntemler denir. 

Sayısal yöntemin (analizin) en büyük amacı, matematiksel problemlerin çözümlenebilmesi için uygun metotlar bulmak ve çözümlerden faydalı ve anlamlı neticeler çıkarmaktır.

 

Birçok sayısal çözümleme yöntemi vardır ve hepsinin ortak noktası ise problemlerin çözümünde ard arda yapılan çok sayıda işlemler içermeleridir (yani çok sayıda aritmetik işlemlerden oluşmasıdır). Mühendislik problemlerinde olduğu gibi, sayısal yöntemle çözülecek problemin zorluğunun artması da yapılacak işlem sayısını artırır. Bu nedenle doğru, hatasız, hızlı ve verimli bir çözüm için sayısal yöntemin yanı sıra bilgisayardan da yararlanılması çok önemlidir. Mühendislik problemlerinin çözümünde sayısal yöntemlerin kullanımı bilgisayar ve yazılım programları ile gelişme sağlamıştır.

 

Sayısal yöntemlerin alternatifi olarak iki hesaplama yöntemi daha kullanılabilir.

  1. ANALİTİK YÖNTEM: Bu yöntemde problemlerin tam çözümü analitik yöntemler kullanılarak elde edilebilir. Elde edilen tam çözüm matematik ifadeler şeklindedir. Halbuki sayısal yöntemlerden elde edilen çözümler ayrık değer yada sayılar şeklindedir. Fakat analitik yöntem ile çözümün elde edilebilmesi için problemin doğrusal matematik modele sahip olması gerekir. Bunun için geometrisinin basit ve boyut sayısının az olması zorunludur. Sonuç olarak, gerçek problemlerin çözümünde problemlerin doğrusal olmaması ve karmaşık olması nedeni ile analitik yöntemin kullanılması çok sınırlıdır. 
  2. GRAFİK YÖNTEM: Problemin çözümünde sistemlerin davranışlarını gösteren grafikler kullanılır. Bu yöntem karmaşık problemlerin çözümünde kullanılabilse de, zaman alıcıdır, hataya açıktır ve hassas sonuçlar vermez. Ayrıca grafik yöntem ile çözüm elde edilebilmesi için boyutun 3 yada daha az olması zorunludur.

 

SAYISAL YÖNTEMLERİN UYGULAMASI

Sayısal yöntemlerin el ile uygulanması ve hesaplamaların hesap makineleri ile yapılması mümkündür.

Elle yapılan hesaplamalar yavaş, zahmetli, hataya açık ve güvenilir değildir. Bu nedenle problemlerin çözümünde sayısal yöntemleri kullanan bilgisayar programlarından yararlanılır.

 Bilgisayar ve bilgisayar programlarının kullanılması el ile çözümde karşılaşılacak tüm sorunları ortadan kaldırır.

 

ALGORİTMA

Verilen bir probleme çözüm getirici matematik ve lojik işlemlerin tümüne “ALGORİTMA” denir veya bilgisayar ortamında bir problemin çözümü için gereken sonlu sayıdaki işlemi adım adım belirli bir sıra ile tanımlayan düzene (bilgisayar ile  programlamada) “ALGORİTMA” denilir. Dolayısıyla algoritma problemlere belli sayıda bir tekrardan sonra çözüm getirir.

 

Sayısal yöntemlerde uygulanacak algoritmalar farklıdır. Aynı problemin çözümünde birden fazla yöntem ve algoritmanın uygulanması mümkün olabilir.

Bu algoritmalar içinden en uygununun seçilmesi ise  sayısal yöntemin amaçlarından biridir. Bu seçimde en çok kullanılabilecek kriterler algoritmanın hızı ve sonuçların hassaslığıdır.

 

 

NEDEN SAYISAL YÖNTEMLER

n      Bu yöntemler analitik olarak çözümü olmayan yada çok zor olan birçok mühendislik probleminin çözümünün hızlı ve hassas bir şekilde elde edilmesini sağlar.

n      Bilgisayarda kullanılan mühendislik hazır programlarının çoğu sayısal yöntemleri kullanır. Bu yazılımları verimli olarak kullanmak için sayısal yöntemlerin temelini ve problemin çözüm şeklini bilmek gerekir. Bu sayede, problemin çözümü için yöntemin ihtiyaç duyduğu girdiler kolayca elde edilir, oluşacak hata ve zaman kayıpları engellenir ve elde edilen çözümler kolayca yorumlanır.

n      Mühendislik hayatımızda her problemi çözmek için  hazır yazılım bulmak mümkün değildir. Yada hazır programı satın almak ekonomik olmayabilir. Hazır program yerine sayısal yöntemi ve herhangi bir bilgisayar dilini bilmek mühendisin bir çok problemi kolayca çözmesini sağlayacaktır.

n      Daha ileri aşamalarda iyi bir programlama bilen mühendis sayısal yöntemleri kullanarak, mühendislik problemlerin çözümünde kullanılabilecek programlar yazabilir.

n      Sayısal yöntemler bir mühendisin matematik anlayışını ve problem çözme yeteneğini güçlendirir. Karşılaştığı problemlere doğru bir yaklaşım ve çözüm getirebilme kabiliyetini artırır.

 

MATEMATİK PROBLEMLERİ

Sayısal yöntemler kullanılarak çözülecek farklı tipte problemler olabilir. Bu derste çözülecek matematik problemleri:

1. Denklemlerin köklerinin bulunması: Bu tip problemlerde tek değişkenli doğrusal ve doğrusal olmayan denklemi sağlayan değişken yada parametrenin değerleri belirlenir.

2.  Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü: Birden fazla doğrusal denklemi eş zamanlı sağlayan değerler belirlenir. Diğer bir deyişle denklemlerin ortak çözümü yapılır. Bu tip problemler bir çok mühendislik konusunda karşımıza çıkar.

3.  Doğrusal olmayan denklemlerin çözümü: Birden fazla doğrusal olmayan denklemlerin eşzamanlı çözümü bulunur.

4. Optimizasyon problemleri: Bu problemler  bir fonksiyonun optimum değerini veren bağımsız değişkenlerin değer veya değerlerinin bulunmasını amaçlar. Bu fonksiyonlarda optimum değer maksimum yada minimum değerdir.

5. Eğri uydurma: Deneylerden elde edilen veriler için genellikle eğri uydurmak gerekir. Eğriler değerlerin genel eğimini gösterir ve  herhangi bir noktadan geçmez. Bu eğriler sayesinde problemlerin yorumlanması ve bilinmeyen noktalardaki değerlerin bulunması kolaylaşır.

6.  İnterpolasyon: Bilinen değerler arasında kalan başka bir değer için tahmin yapılmasında kullanılır. Tablo halindeki verilerin tamamından geçen bir eğri uydurulur ve bu eğri kullanılarak ara değerler tahmin edilir.

7.  Sayısal integral: İntegralin fiziksel anlamı bir eğrinin altında kalan alandır. Mühendislikte bir çok uygulamada integralden yararlanılır.

8. Adi diferansiyel denklemler: Mühendislik uygulamalarının çoğunda bir büyüklüğün değeri yerine onun değişim hızı gerekir. Adi diferansiyel denklemler büyüklüklerin değişim hızını belirlemede kullanıldığından oldukça önemlidir.

9.  Kısmi diferansiyel denklemler: Bu denklemler fiziksel bir büyüklüğün davranışını birden fazla değişkenin değişim hızı cinsinden ifade eder. Gerçek mühendislik problemlerinde kısmi diferansiyel denklemlerden geniş bir şekilde yararlanılır.

 

 

 

Karşılaşılan bir mühendislik problemi uygun şekilde incelenmez ise sonuca ulaşılamaz yada elde edilen sonuç doğru olmaz.

Problemin incelenmesinde izlenecek yol;

  1. Problemin tanımlanması: Amacın belirlenmesi
  2. Matematik model oluşturulması: Teorik kuram ve veriler yardımı ile
  3. Problemin çözülmesi: Sayısal yöntemler ve diğer yöntemler kullanılarak
  4. Sonuçların raporlanması: Sayısal yada grafik şeklinde
  5. Sonuçların yorumlanması ve kontrol edilmesi: Hata bulunduğunda başa dönülür
  6. Çözümün uygulanması

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Problemin çözümünde doğru sonucun elde edilmesi yukarıdaki tüm aşamaların doğru bir şekilde uygulanmasına bağlıdır. Herhangi bir aşamada hata yapılırsa sonucumuz da yanlış olacaktır.

Örnek olarak problem doğru tanımlansa bile matematik modellemede yapılacak hata, sonucun hatalı olmasına neden olur. Aynı durum dersimizin konusu olan sayısal yöntemin seçiminde ve uygulanmasında da ortaya çıkar. Doğru bir matematik model oluşturulsa bile, sayısal çözümlemedeki  hatalar sonucun yanlış olmasına sebep olur.

Mühendislik problemlerinin çözümü ile ilgili olarak uzun yıllardan beri yapılan çalışmalar bilim adamlarını fiziksel olayların belirli yönlerden birbirlerini tekrarlamakta olduğu sonucuna götürmüştür.  Bu sayede yapılan deneylerden genel bir davranışın teorik temel yasası ortaya çıkartılmıştır.

Günümüze kadar yapılan çok sayıdaki deney ve bunlardan elde edilen teorik sonuçlarla bir çok mühendislik probleminin matematik modellemesi yapılmış ve doğrulukları ispatlanmıştır.

 

 

MATEMATİK MODEL

Matematik model en genel anlamı ile fiziksel bir sistemin veya bir sürecin ana özelliklerinin matematik terimlerle ifade edildiği eşitlik yada formüldür. Çok genelleştirilmiş hali ile matematik model ;

 

Bağımlı değişken =f{Bağımsız değişkenler, Parametreler, Zorlayıcı fonksiyonlar}

 

Bağımlı değişken sistemin davranışını yada konumunu belirten bir özelliktir.

Bağımsız değişkenler genellikle zaman, konum gibi sistemin davranışını belirleyen boyutlardır.

Parametreler sistemin özelliklerini yada yapısını belirleyen büyüklüklerdir.

Zorlayıcı fonksiyonlar ise sistemi etkileyen dış etkenlerdir

 

Örnek olarak Newton’un 2. yasasını ele alırsak;

 

 

 

 


a ivme  bağımlı değişken

F kuvvet zorlayıcı fonksiyon

m kütle sistemin özelliğini yansıtan parametredir.

 

 

Diğer bir örnek olarak serbest düşüş yapan bir cismin zamana bağlı hızı;

 

 

 

 


Burada;

v          hız, bağımlı değişken

c          direnç katsayısı, parametre

m         kütle, parametre

g          yerçekimi ivmesi, zorlayıcı fonksiyon

t           zaman, bağımsız değişkendir

 

 

İlk örnekte verilen Newton’un 2. hareket yasası matematik bir modelin bazı temel özelliklerini göstermektedir.

  1. Bu eşitlik doğal bir süreci matematik terimler ile tanımlamaktadır
  2. Eşitlik gerçek bir olayın basitleştirilmiş ve idealleştirilmiş ifadesidir. Bu model doğal bir sürecin önemsiz ayrıntılarını ihmal ederek sürecin temelde nasıl meydana geldiğini göstermektedir.
  3. Bu model tekrarlanabilen sonuçlara dayanır. Bu nedenle meydana gelmemiş bir olayın tahmin edilmesinde kullanılabilir. Örneğin kütlesi ve üzerine etki eden kuvvetin bilindiği bir cismin ivmesi tahmin edilebilir.

 

 

Newton’un 2. hareket yasası basit bir model olduğundan kolayca çözülebilir. Fakat genellikle fiziksel olayların matematik modelleri daha karmaşıktır. Bu nedenle ya tam olarak çözülemez yada basit cebirsel işlemlerden daha karmaşık matematik yöntemlerin kullanılmasına ihtiyaç duyulur.

 

 

BİLGİSAYAR KULLANIMI

Mühendislik problemlerin matematik modelleri oluşturulduktan sonra uygun yöntem belirlenerek çözülür. Bu yöntemler içinden sayısal yöntemlerin herhangi biri seçildiğinde çok sayıda işlemin ard arda yapılması gerekir. İşlemlerin yapılmasında hesap makinesi yada bilgisayar kullanılır. Çözümlerin hızlı elde edilmesi ve doğru olması için bilgisayar kullanılması şarttır.

Sayısal yöntemlerin kullanılmasında ya doğrudan bu yöntemler için hazırlanmış hazır programlardan yada kullanıcının bir bilgisayar dilini kullanarak kendinin kodlayacağı programdan yararlanılır. Bu kodlamalarda Fortran, C, Basic gibi ileri seviyeli bilgisayar dilleri kullanılır.

 

Bilgisayar programları, yapılması istenen işlemleri ve sıralamasını veren talimatlar listesidir.  Bu talimatlar bir amaca yönelik olarak kullanıcı tarafından kullanılan bilgisayar dilinin özelliklerine ve kurallarına göre hazırlanır.

Program içersinde yapılabilecekler aşağıdaki gibi sıralanabilir.

    1. Basit bilgi gösterimi (sabitler, değişkenler ve tip tanımlaması )
    2. Gelişmiş bilgi gösterimi (veri yapısı, çok boyutlu diziler)
    3. Matematik formüller (yerine koyma, işlem özelliği)
    4. Girdi/Çıktı
    5. Mantıksal gösterim (sıralama, seçim, tekrar)
    6. Modüler programlama (fonksiyonlar ve alt programlar)

 

Sayısal yöntemlerin uygulanmasında Excel ve Matlab gibi programlar yaygın olarak kullanılmaktadır.

Her iki programda birbirinden farklı yapıda ve farklı üstünlüklere sahiptir. Bu programlar kullanılarak karmaşık mühendislik problemleri çözülebilir.

 

EXCEL

Excel elektronik  hesap tablosudur. Kullanıcı verileri satır ve sütün halinde girerek hesaplama yapabilir. Bir hücredeki bilgi değiştiğinde bu hücreye bağlı diğer hücrelerdeki bilgilerde güncellendiğinden analiz yapmaya uygun bir programdır.

Ayrıca bu program ile denklem çözme, eğri uydurma ve basit optimizasyan yapmak mümkündür. Basic dili kullanılarak  bu programın içersine programlar eklemek de mümkündür.

 

MATLAB

Matlab tüm işlemleri matris şeklinde yapan ve programlamaya uygun hazır programdır. Matlab sayısal yöntemlerin kolayca uygulanabileceği fonksiyon ve operatörlere sahiptir. M-dosyaları ile kolay programlama yapılabilmektedir.

 

 

SAYISAL YÖNTEMLERDEKİ HATALAR

Sayısal yöntemlerde amaç analitik çözüme yakın sonuçlara ulaşmaktır. Bu nedenle, sayısal yöntem ile yapılan hesaplamalarda gerçek sonuçtan farklılık vardır. Bu fark ise hatalardan kaynaklanır. Sayısal yöntemlerin etkin bir biçimde kullanılabilmesi için hata kavramının iyi anlaşılması gerekir.

Mühendislik problemlerinin çözümünde gerçek değer bilinmediğinden hata tam olarak belirlenemez. Dolayısıyla hata değeri tahmin edilen değerler üzerinden hesaplanır.

Sayısal yöntemlerde önemli olan hatanın ne kadar olduğu ve kabul edilip edilemeyeceğidir. Bu nedenle hatanın tahmini, miktarı ve azaltılması için yöntemlerin kullanılması gerekir.

 

Hatalar, sayısal yöntemle ilgili hatalar (sayısal hatalar) ve sayısal yöntemle ilgili olmayan hatalar olmak üzere iki bölümde ele alınır.

Hatanın sebebi ne olursa olsun değeri;

 

Gerçek Hata= Gerçek Değer – Yaklaştırma Değeri

 

 

 


Eg değerine mutlak hata denilir.

 

Mutlak hatanın eksikliği hatanın mertebesi hakkında bir fikir vermemesidir. Hatanın büyüklüğünün dikkate alınmasının yolu ise bağıl hata  tanımlaması ile elde edilir.

 

 

 

 


Burada eg gerçek bağıl hata değerini gösterir. Bu değer gerçek hata değerinin gerçek değere oranıdır

 

Mutlak ve bağıl hatanın belirlenmesindeki zorluk gerçek değerin önceden bilinmemesidir. Bu nedenle hata hesaplamalarında gerçek değer yerine en iyi tahmin değeri kullanılır.

 

Yaklaşık Hata = En İyi Tahmin – Yaklaştırma Değeri

 

 

 


ve yaklaşık bağıl hata

 

 

 

 

 


Buradaki sorun ise gerçek değerin tahmininin yapılamamasıdır. Fakat sayısal yöntemler genellikle iteratif (yenilenen) yaklaşma kullanırlar. Yani önce bir değer hesaplanır ve daha sonra bu hesaplanan değer ile işlemler yeniden yapılarak gerçek değere daha yakın bir çözüm bulunur. Hata hesaplamalarında en son bulunan değer ile bir önceki değer kullanılır. Dolayısı ile yaklaşık bağıl hata;

 

 

 

 


Burada hesaplanan hata değeri negatif yada pozitif çıkabilir. Bu durum önemli değildir. Önemli olan yaklaşık bağıl hatanın mutlak değerinin, önceden belirlenen kabul edilebilir bağıl hatadan (ek) daha küçük olmasıdır.

 

 

 


Bu bağıntı sağlandığında problemin önceden belirlenen sınırlar içinde kalan bir değeri bulunmuş olur. Yukarıdaki bağıntı ayrıca iteratif işlemlerin sonlandırılmasında da kullanılır. Her iterasyondan sonra yaklaşık bağıl hata hesaplanır ve kabul edilebilir hata değeri ile karşılaştırılır. Karşılaştırma sonucu doğru ise iterasyon işlemi sonlandırılır.

 

Doğrudan Sayısal Yöntemle ilgili olmayan hataları;

  1. Sapmalar
  2. Formülasyon ve modelleme hataları
  3. Veri yanlışlıkları

olarak gruplandırabiliriz

 

Doğrudan Sayısal Yöntemle ilgili hatalar (Sayısal hatalar) iki bölümde ele alınır.

 

  1. YUVARLAMA HATALARI

Yuvarlama hataları bilgisayarda sadece belirli sayıda anlamlı basamağın saklanmasından kaynaklanır. Örneğin π, e ve gibi sayılar sabit sayıda anlamlı basamakla yazılamazlar. Bu nedenle bilgisayarda değerleri tam olarak ifade edilemez. Dolayısıyla sonuçta hata oluşur. Ayrıca bilgisayarda sayılar 2-tabanına çevrilerek saklanır. Bu durumda 10-tabanına göre tam sayı olan bazı sayılar bile bilgisayarda tam olarak ifade edilemez. (π=3,14 yada 3,14159 yada 3,14159264)

 

Bilgisayarda sayıların kullanılmasında kayan sayılar kullanılır. Bu tanımlamada gösterim

 

 

 


şeklindedir. Burada m mantis olarak adlandırılan anlamlı sayı basamağını gösterir. Kullanılan sayı sisteminin tabanı b ve e üstür. Örnek olarak 143,43 sayısı kayan sayı sisteminde 0,14343x103 şeklinde gösterilir. Özellikle kesirli sayıların kullanılmasında yuvarlama hatası oluşur

 

2. KESME HATALARI

Kesme hataları matematik ifadelerin sayısal yöntemlerde yaklaşım ile elde edilmesinden kaynaklanır. Bu hatanın anlaşılması için Taylor serisini ele alalım. Bu seri sayısal yöntemlerde matematik fonksiyonların hesaplanmasında kullanılır.

Örnek olarak cos fonksiyonunun Taylor serisi;

 

 

 

 


şeklindedir. Bu serinin belirli sayıda terimi hesaplama için kullanılır. Bu ise kesme hatasına sebebiyet verir.

 

Y.Doç.Dr. Burhanettin ÇETİN

 

GERİ

 

 

 

ANA SAYFA

 

 

 

 

KİŞİSEL

 

 

ÖZGEÇMİŞ

 

 

YAYINLAR

 

 

DUYURULAR

 

 

İLETİŞİM